Petr Vopěnka - Platónské pojetí geometrie

 

Všichni dnes žijeme v geometrickém světě a připadá nám, že není nic přirozenějšího. Přitom je pravdou, že je možné nazírat na svět v nespočtu různých pojetích geometrie. Každá taková geometrie ale musí mít závazný vztah k tomuto světu, aby byla smysluplnou. Dnešní převládající pojetí geometrie vychází do značné míry Platónova učení. Ačkoli se žádný z Platónových spisů o geometrii nedochoval, můžeme na jeho názory usuzovat z vlivu, který měl na Euklida a jiné své následovníky. Platónské pojetí geometrie ovlivnilo vývoj matematiky, filosofie a zprostředkovaně i ostatních věd.

Platón vidí v geometrii jakýsi most mezi reálným světem a světem idejí. Ideje jsou předobrazy reálných věcí ve světě. Ideje nejsou nikdy zcela uchopitelné, můžeme je pouze nahlédnout či přejmenovat, ale nikdy je nemůžeme změnit. Nejvyšší ideou je idea dobra, kterou nikdy nelze plně nazřít.

Většina předmětů v reálném světě obsahuje souhrn několika idejí, které se překrývají a skládají ve výsledný objekt takovým způsobem, že předmět samotný nejde jednoznačně rozeznat. Geometrický objekt je nejpřesnějším vyjádřením idejí v reálném světě. Reálné předměty obsahují mnoho idejí, které nejsou zachytitelné geometrií, které jsou „přikryty látkou“. V geometrickém objektu je obsaženo jen tolik, co člověk dokáže obsáhnout a vztahuje se vždy přímo k popisované ideji, jedině díky čemuž je možné mu rozumět.

Ideou není každá vlastnost objektu, ale pouze ta, která je prvoevidovatelná - poznatelná bez potřeby srovnání s předchozí zkušeností. Například nevyhřátost postele není ideou, protože je odvozená od předchozí zkušenosti vyhřáté postele. Oproti tomu třeba křivost ideou je. Křivost kružnice i to, že je kružnicí vidíme přímo i bez předchozí zkušenosti, třebaže bychom tyto ideje neuměli pojmenovat. Jistě bychom pro ně ale slova vytvořili, protože jsou zjevné a vnucují se nám.

Na kružnici je vidět ono překrývání idejí, o kterém jsme se zmiňovali výše. Kružnice obsahuje ideu křivosti, zatímco idea křivosti ideu kružnice neobsahuje. Proto je idea křivost, jakožto obecnější, nadřazena ideji kružnice, která je z ní odvozena. Tento vztah nadřazenosti a podřazenosti je jediným možným vztahem mezi idejemi

Podílejí-li se dva předměty na stejných idejích, znamená to, že jsou si rovné, nikoli však, že jsou totožné. Například dvě kružnice jsou si rovné, přestože každá může být jinak veliká. Bylo by chybou domnívat se, že idea přímosti je totožná s ideou nekřivosti, jelikož ne vše, co je nekřivé, musí být rovné (například zvuk, barva…).

Jelikož je geometrie nejlepším způsobem jakým dokážeme nahlížet ideje, je i způsobem nejpravdivějším. Pravda sama je obsažena přímo v idejích, respektive nahlédnutelná pravda je vztahem mezi idejemi. Příkladem takové pravdy by ve vztahu k našemu příkladu s kružnicí mohlo být tvrzení „kružnice je křivá“. Nejedná se však o pravdu samotnou, nýbrž jen o její vyjádření. Pravdu samu nelze uchopit, lze ji jen nazřít – nejlépe pomocí geometrie. Žádná věda nedokáže ve vztahu k pravdě překonat geometrii, protože musí vycházet z fakt v reálném světě, ve kterém jsou věci „zahaleny plátnem“.

Nejdokonalejším, protože nejjednodušším geometrickým objektem je bod, který obsahuje pouze ideu tvaru a velikosti(což jsou tudíž nejvyšší geometrické ideje). Následuje přímka a kružnice, potažmo krychle a koule. Měřítkem dokonalosti je počet idejí, který objekt obsahuje: čím méně, tím lépe.

Je však třeba rozlišovat mezi idejemi velikosti tvaru a veličinami velikosti a tvaru. Veličina není oproti ideji prvoevidovatelná. Pokud vidím nějaký objekt, poznám, že má nějakou velikost bez nutnosti předchozí zkušenosti, ale určit míru této velikosti již nedovedu bez nějakého měřítka, bez porovnání. Podobně je tomu s tvarem: na první pohled vidím, že objekt má nějaký tvar, ale jaký ten tvar je už musím z něčeho odvodit.

Na každém geometrickém objektu musí být účastna alespoň jedna ze základních geometrických idejí (křivost a velikost). Například přímka je pouze ve všech bodech stejně přímá (idea křivosti), ale ideu velikosti již neobsahuje. Elipsa je oproti tomu ve všech bodech jinak zakřivená a proto obsahuje i ideu velikosti. Kružnice je oproti tomu ve všech bodech stejně zakřivená a tedy se na ideji velikost neúčastní.

Na ideji velikosti má účast také idea poměru. Příkladem může být čtverec, který má poměr svých stran stanoven na 1:1:1:1. Nerozhoduje veličina velikosti, která by udávala přesné rozměry stran: stačí vědět, že strany mají být stejně dlouhé. Mezi prvoevidovatelné ideje patří také některé úhly, jako například 90, 45, 180 či 360 stupňů.

Geometrický objekt jako celek je pak sám jakousi úhrnnou ideou všech idejí, které na něm podílejí. Protože je závislý na všech obsažených idejích, je ideou nejnižší. Smysl takovéto celkové ideje spočívá v tom, že ji dokážeme nahlížet celkově, aniž bychom museli nejprve rozpoznat jednotlivé vyšší ideje, které tento objekt tvoří.

Ideám není možné se naučit, musí být uzřeny. Pokud nazřu nějaký objekt, který obsahuje ideu, kterou jsem již viděl dříve, rozpomenu si přímo na tuto dříve poznanou ideu, nikoli na místo, čas a konkrétní objekt, na kterém jsem ideu prvně zahlédl. Například uvidím-li psa, rozpoznám ho zcela bez srovnání s nějakým konkrétním vzorovým psem, kterého jsem kdysi viděl, ale pouze znovu nahlédnu již jednou rozpoznanou ideu psa.

Při nazírání geometrických objektů se uplatňuje činná a trpná složka. Pokud si vybavujeme geometrický objekt, který jsme sami nevytvořili ani jsme jej nikdy neviděli, uplatňuje se složka trpná. Tímto způsobem je jedině možné dosáhnout poznání nových geometrických pravd. Pokud nazíráme to, co jsme již v minulosti nazřeli, uplatňuje se složka činná.

Ne všechny geometrické pravdy jsou evidentní na první pohled. Některé můžeme nazřít přímo, k jiným musíme dojít postupně. K evidenci idejí můžeme dojít v zásadě dvěma způsoby. Můžeme postupovat podle přímých pokynů osvědčených z dřívějších pokusů o evidenci. Zde však musíme dávat pozor, abychom do nazíraného objektu nevnášeli nějaké doplňky, které by výsledek zkreslily. Druhým způsobem je rozšíření objektu do obsáhlejšího zobrazení, ve kterém se stane evidentním. Takto můžeme třeba poznat pravdu Pythagorovy věty, když nalezenou zákonitost rozšíříme na všechny pravoúhlé trojúhelníky.